A 2n d'ESO hem estat analitzant un tangram aparentment molt simple proposat inicialment per Don Steward en el seu blog, Median, i del qual se n'havia fet ressò el grup Puntmat per les seves possibilitats didàctiques.
La construcció del tangram és molt directa: dividim un quadrat per la meitat, i dividim cada rectangle per la diagonal. Amb això obtenim quatre triangles rectangles. Això és tot!
Ens hem agrupat en parelles, cada una amb el full d'un color. Han construït un quadrat doblegant paper, i després han fet els plecs i talls necessaris per obtenir els quatre triangles, que després hem compartit perquè cada parella tingués un joc complet amb els quatre colors.
Aquí ens ha sorgit una primera pregunta: el triangle que s'obté unint dos triangles pel catet llarg (el blau i el vermell, en el dibuix de l'exemple), és un triangle equilàter? Ràpidament hem vist que no. La base són dos catets curts, que és el mateix que un catet llarg, que és l'altura del triangle. Així doncs, si la base i l'altura són iguals, no pot ser que els costats siguin tots iguals, necessàriament la diagonal ha de ser més llarga. Es tracta d'un triangle isòsceles, format per dos triangles rectangles.
Estem en disposició de respondre la segona pregunta: quins i quants quadrilàters diferents es poden formar amb aquests quatre triangles?
Ràpidament comencen a aparèixer possibilitats.
Però el fet que molts dels quadrilàters obtinguts siguin en realitat iguals que d'altres que ja s'havien trobat ens obliga a ser una mica més sistemàtics en la recerca. Comencem a apuntar-los, i descartem tots els que són semblants, fixant-nos en girs i simetries de la figura.
En algun cas tenim dubtes. Per exemple, no acabem de veure clar si aquestes dues figures són semblants o no.
Comparant els costats, veiem que en la de l'esquerra la base vermella és una diagonal del triangle, i el costat oposat són dos costats curts, és a dir, un costat llarg, i el mateix passa per la base verda. En canvi, a la figura de la dreta, tot i que també hi ha dues diagonals i dos costats llargs com a costats del quadrilàter, la diagonal està oposada a l'altra diagonal, i el costat llarg a l'altre costat llarg. Per tant, són quadrilàters diferents.
Decidim compartir tots els que hem trobat enganxant-los a la pissarra:
Sembla que els hem trobat tots, 13 en total!
Un cop aquí reflexionem una tercera pregunta: quin d'aquests té l'àrea més gran i la més petita? quin d'aquests té el perímetre més gran i més petit?
No ha acabat la pregunta de les àrees que ja se sent la resposta: totes tenen la mateixa àrea! Estan fetes amb les mateixes peces, així que l'àrea no pot variar.
Pel que fa als perímetres, no és tan senzill. Primer pensem el més petit. Les primeres intuïcions són per als que estiguin "més enganxats" , concretament, el quadrat, el rectangle i el rombe. Discuteixen entre ells:
- No, el rombe té com a costats les diagonals, que són més llargues, així que no pot ser.
- Interessa que les diagonals estiguin a dins de les figures.
- Només poden ser el rectangle i el quadrat, tenen el mateix perímetre.
- No, el quadrat té 8 costats petits de perímetre, el rectangle té 4 llargs i 2 curts, és a dir, 10 costats petits de perímetre.
- El quadrat és el que té el perímetre més petit!
- En el quadrat queden a dintre les quatre diagonals i dos costats llargs, no es pot fer millor.
Una vegada decidit que el quadrat és el que té el perímetre més petit, passen a considerar quina de les figures té el perímetre més gran. Les compten pel número de costats petits (C), llargs (L) i diagonals (D) que té cada figura, tenint en compte que dos costats petits és el mateix que un gran. Per exemple, entre les dos del mig, la de dalt té 4L i 2D, i la de baix, 2C, 2L i 2D, que és el mateix que 3L i 2D. Per tant la de baix queda descartada.
Comparem aquesta amb la del costat. Què és més, 2D i 4L, o 4D i 1L? Restant el que tenen en comú, la pregunta passa a ser si és més 3L o 2D. 3L, ja que L és més petit que D, però més gran que L+C. Després de diverses reflexions d'aquest tipus arribem a la conclusió que la de perímetre més gran és la de baix de tot, al centre, que té 4D i 2L. L'argument definitiu ha estat que era el contrari que pel quadrat, el de perímetre més petit: totes les diagonals a fora i dos costats llargs, no es pot fer millor.
Hem deixat una última pregunta per pensar a casa: quan hem construït els quadrilàters, a vegades obteníem cinc costats, o fins i tot sis. N'hauríem pogut obtenir més?
Fitxa
Curs: 2n ESO
Temporització: 2 sessions
Agrupament: per parelles, després ho posem en comú tota la classe
Idea original i enllaços a més material: El tangram del Median, de Puntmat. Té proposada una segona part.
