Agenda | Activitats | Biblioteca | Login

Laboratori de Matemàtiques

Aquest blog neix per explicar en paraules el Laboratori de Matemàtiques que hem engegat a l'escola per descobrir les matemàtiques des d'una nova perspectiva. Anirem explicant diferents activitats destacades que ens serveixen per explorar nous conceptes, especialment des d'un vessant manipulatiu.

  • Inici
    Inici Aquí pots trobar totes les entrades de blog de tota la pàgina web.
  • Categories
    Categories Mosrta un llistat de les categories d'aquest blog.
  • Etiquetes
    Etiquetes Mostra un llistat d'etiquetes que s'han emprat al blog.
  • Blogaires
    Blogaires Cerca al teu blogaire favorit de la pàgina.
  • Blogs d'equip
    Blogs d'equip Troba els teus blogs d'equip favorits aquí:
  • Dades d'accés
    Dades d'accés Formulari d'inici de sessió

Un nou triangle per resoldre una suma infinita (300 anys de la mort de Leibniz, part III)

Publicat per a a LABORATORI DE MATEMÀTIQUES
  • Mida de la font: Més gran Menor
  • Visites: 3741
  • 0 Comentaris
  • Imprimeix

 

Per fi hem arribat a Leibniz! En la primera activitat, vam tirar enrere fins a Al-Khwarizmi (s. IX) per veure com podíem resoldre equacions de segon grau fent servir diagrames visuals, i vam acabar pensant en el desenvolupament de potències de binomis. En la segona activitat, vam avançar en el problema fins a Pascal (s. XVII), i vam veure que els desenvolupaments de potències es podien esbrinar a partir dels coeficients del triangle aritmètic, i vam intentar descobrir alguns dels secrets de l'aritmètica que es desvelaven estudiant atentament el triangle.

En aquesta activitat ens trobem un dels personatges més importants de la història de les matemàtiques (i en aquest cas, també de la de filosofia!): Leibniz (s. XVII), que va crear juntament amb Newton tota una nova branca de les matemàtiques -el càlcul infinitesimal-.

 

b2ap3_thumbnail_leibniz.jpg

 

Leibniz va crear el triangle harmònic, que guarda una estreta relació amb el triangle aritmètic de Pascal. Per a què es va crear? Com es pot fer servir? Mirarem de descobrir-ho a continuació...

 

b2ap3_thumbnail_1.jpg

 

Dibuixem les cinc primeres fileres del triangle harmònic a la pissarra i ens preguntem:

 

b2ap3_thumbnail_2.jpg

 

a) Com continua el triangle harmònic? Quina relació té amb l'aritmètic?

Després d'algunes conjectures fallides, arribem a la conclusió que les files s'obtenen fent els inversos dels coeficients del triangle aritmètic multiplicats pel número de la fila.

 

b2ap3_thumbnail_3.jpg

 

b) En el triangle aritmètic, la suma dels dos nombres de la fila de dalt (a,b) ens proporcionava el nombre de baix (c). Quina relació hi ha entre el nombre de la fila de dalt (a) i els dos nombres de la fila de baix (b,c) en el triangle harmònic?

b2ap3_thumbnail_4.jpg

 

Simple! Aquesta propietat tan maca agermana encara més el triangle aritmètic i l'harmònic.

 

c) Volem sumar tota la diagonal 1/2 + 1/6 + 1/12 + ...

Utilitzant la propietat de b), escriviu cada terme com la diferència de dos termes, i digueu quant val aquesta suma infinita.

 

b2ap3_thumbnail_5.jpg

 

Uau! Acabem de sumar infinits termes, que resulta que a sobre sumen entre tots 1! I tot aplicant la innocent propietat que hem descobert en l'apartat anterior.

Una suma d'aquest tipus, en matemàtiques s'anomena telescòpica.

d) L'any 1672, Huygens va proposar a Leibniz el problema de sumar els inversos dels nombres triangulars. Quant és? (Feu servir c) )

Així que aquest era el problema original!

Aquesta pregunta ja no ens va sortir. Els nombres triangulars són els que vam descobrir en l'última activitat, els que ens permetien dibuixar triangles: 1, 3, 6, 10, ...

És a dir, el problema proposat per Huygens és calcular 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + ...

Com hem vist a l'apartat anterior, 1/2 + 1/6 + 1/12 + ... = 1, i per tant, com que cada terme és la meitat del corresponent en la suma anterior, la suma de tots ells ha de ser 2.

 

Aquí acaba el nostre fil d'activitats històriques enllaçades per commemorar el 300 aniversari de la mort de Leibniz.

 

Fitxa:

Curs - 4t ESO

Temporització - 1 sessió

Idea original i enllaç al material - L'activitat s'ha programat a partir de la ponència de Maria Rosa Massa a la XIX Jornada Matemàtica d'ABEAM: Gottfried Wilhelm Leibniz, 300 anys després (pdf), així com informació del llibre Història de la Matemàtica, de Carlos Dorce Polo.

Comentaris

Deixa el teu comentari

Convidat
Convidat Dimecres, 19 Juny 2019

Login Alumno