A 2n d'ESO, hem estat investigant amb l'àrea de quadrats, i hem acabat descobrint una propietat molt interessant...

Hem utilitzat els geoplans que van construir els alumnes de l'any passat a Tecnologia per intentar respondre un problema senzill: "És possible construir quadrats d'àrees 1, 2, 3, ... fins a 10 cm^2?"

 

b2ap3_thumbnail_IMG_20170424_152010.jpg

Ha estat molt senzill trobar els quadrats d'àrea 1, 4 i 9, perquè corresponen a quadrats "horitzontals" de costats 1, 2, i 3. Però, se'n poden trobar d'altres?

Pensant, pensant, hem caigut en què també es podien construir quadrats "verticals", com un rombe. El que no és tant clar és com calcular-ne l'àrea. No la podem trobar calculant el quadrat del costat, perquè no sabem quant val la base... L'únic que tenim clar és que la base ha de ser un nombre més gran que 1, perquè en ser la diagonal del quadrat ha de ser més gran que el costat, però alhora més petit que 2, perquè no arriba a ocupar el mateix que els dos costats en línia.

 

Podem trobar encara més quadrats?

Amb una "petita ajuda" caiem en què encara podem crear altres quadrats, posant-los "inclinats". Per exemple, el que obtenim unint un vèrtex amb el que està a 2 unitats cap a la dreta i una cap avall, i així successivament. I també el que està a tres cap a la dreta, una cap avall. Els altres ja ens semblen d'àrea més que 10.

 

b2ap3_thumbnail_IMG_20170424_153347.jpg

 

Hem trobat ja molts quadrats, però ara es tracta de calcular-ne les àrees!

Molt ràpidament trobem que l'àrea dels "verticals" ha de ser de 2 i de 8, respectivament. Si ho dividim en quadrats, resulta que tinc els quadrats centrals, i els triangles partits, units, ens creen nous quadrats d'àrea 1.

Amb una mica més de feina, observem -com van descobrir els alumnes de 1r al Fem Matemàtiques- que podem unir "hàbilment" trossos de quadrat per formar àrees conegudes.

 

b2ap3_thumbnail_IMG_20170206_094831_20170506-220602_1.jpg

 

Per exemple, en el de la dreta, tenim un quadrat interior complet, d'àrea 1, i després, quatre triangles, cadascun d'ells d'àrea 1, també, així que en total fan un quadrat d'àrea 5. Ja ho tenim!

Fent recopilatori, hem trobat els següents quadrats:

 

b2ap3_thumbnail_IMG_20170218_dif.jpg

 

Després de fer la feina de disseccionar els quadrats en figures més petites d'àrea 1, observem que sempre es compleix una relació ben curiosa. Quan els quadrats no són horitzontals, i per tant és immediat calcular la seva àrea, sempre es compleix que es pot calcular l'àrea a partir dels quadrats que formen els seus costats.

 

b2ap3_thumbnail_IMG_20170218_112941.jpg

 

El d'àrea 5 es trobava unint el vèrtex amb el que està a 2 unitats cap a la dreta, 1 cap avall. Si construïm quadrats en els seus costats, observem que l'àrea 5 és el resultat de sumar 4 (l'àrea del de costat 2) i 1 (l'àrea del de costat 1). El d'àrea 10 es trobava unint el vèrtex amb el que està a 3 unitats cap a la dreta, 1 cap avall. Com abans, resulta que aquest 10 surt de fer 9 (l'àrea del de costat 3) més 1 (l'àrea del de costat 1).

Uau! Així és molt més senzill calcular les àrees. Sempre es compleix que l'àrea de l'inclinat ha de ser la suma de les àrees dels que té al costat? A veure si podem demostrar-ho el proper dia... ;-)

 

Fitxa:

Curs - 2n ESO

Temporització - 2 sessions